W3. Матрицы, определители, векторное произведение и смешанное произведение

Автор

Salman Ahmadi-Asl

Дата публикации

18 сентября 2025 г.

Quiz | Flashcards

1. Краткое содержание

1.1 Матрицы

Матрица (matrix) — прямоугольная таблица чисел (или выражений) в строках и столбцах; обозначается заглавной буквой, элементы — \(a_{ij}\). Размер \(m\times n\): \(m\) строк, \(n\) столбцов. Пример \(2\times3\): \[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \]

1.2 Типы матриц
  • Квадратная (square): \(m=n\) — для неё определены \(\det\) и обратная.
  • Единичная \(I\): единицы на главной диагонали.
  • Нулевая, диагональная, симметричная (\(A=A^T\)), треугольная (upper/lower triangular).
  • Эрмитова (Hermitian): для комплексных \(A=\overline{A^T}\).
1.3 Операции

Сложение/вычитание покомпонентно при совпадении размеров. Умножение на скаляр — каждый элемент. Транспонирование (transpose): \((AB)^T=B^TA^T\). След (trace): \(\mathrm{tr}(A)=\sum a_{ii}\), циклический: \(\mathrm{tr}(ABC)=\mathrm{tr}(BCA)\).

1.4 Умножение матриц

\((m\times n)(n\times p)=(m\times p)\); элемент — dot product строки на столбец. Для \(Ax\): взгляд через скалярные произведения со строками или как линейную комбинацию столбцов \(A\) с весами \(x\). В общем случае некоммутативно; ассоциативно и дистрибутивно.

1.5 Определитель

\(\det(A)\) для квадратной матрицы: обратимость \(\iff \det\neq0\); singular при \(\det=0\). Геометрически — масштаб объёма/площади; знак — ориентация. Свойства: \(\det(AB)=\det A\det B\), \(\det(A^T)=\det A\), \(\det(A^{-1})=1/\det A\), \(\det(kA)=k^n\det(A)\).

1.6 Обратная матрица

\(A^{-1}A=I\) при \(\det A\neq0\). Метод adjugate: миноры → алгебраические дополнения → \(C\) → \(\mathrm{adj}(A)=C^T\) → \(A^{-1}=\frac1{\det A}\mathrm{adj}(A)\).

1.7 Векторное произведение

В \(\mathbb{R}^3\): \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}\) перпендикулярен обоим; направление по правилу буравчика (right-hand rule). Антикоммутативность, \(\mathbf{a}\times\mathbf{a}=\mathbf{0}\), \(||\mathbf{a}\times\mathbf{b}||\) — площадь параллелограмма.

1.8 Смешанные произведения
  • Скалярное смешанное \(\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\): объём параллелепипеда по модулю; \(0\) ⇔ компланарность (coplanar). Циклическая симметрия.
  • Векторное смешанное и BAC–CAB: \(\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}\).
  • Тождество Якоби (Jacobi identity): сумма трёх циклических двойных векторных произведений равна \(\mathbf{0}\).

2. Определения

  • Матрица (matrix): прямоугольный массив чисел по строкам и столбцам.
  • Скаляр: одно число, на которое умножают матрицу или вектор.
  • Квадратная матрица: \(m=n\).
  • Единичная матрица \(I\): единицы на главной диагонали, остальное нули.
  • Определитель \(\det(A)\): скаляр из квадратной матрицы; обратимость и геометрический масштаб.
  • Вырожденная матрица (singular): \(\det(A)=0\), обратной нет.
  • Обратная матрица \(A^{-1}\): для невырожденной \(A\), \(AA^{-1}=I\).
  • Транспонированная \(A^T\): строки и столбцы поменяны местами.
  • След \(\mathrm{tr}(A)\): сумма диагональных элементов.
  • Присоединённая \(\mathrm{adj}(A)\): транспонированная матрица алгебраических дополнений.
  • Компланарные векторы: лежат в одной плоскости.
  • Векторное произведение \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}\): вектор в \(\mathbb{R}^3\), перпендикулярный обоим сомножителям.
  • Смешанное скалярное произведение \(\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\): число; модуль — объём параллелепипеда.
  • Двойное векторное произведение \(\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\): вектор в плоскости \(\mathbf{b},\mathbf{c}\).

3. Формулы

  • Сложение: \(C=A+B \Rightarrow c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\)
  • Умножение на скаляр: \(B=\lambda A \Rightarrow b_{ij}=\lambda a_{ij}\)
  • Транспонирование произведения: \((AB)^T=B^TA^T\)
  • Определитель произведения: \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\)
  • Определитель обратной: \(\det(A^{-1})=1/\det(A)\)
  • \(\det(kA)\) для \(n\times n\): \(\det(kA)=k^n\det(A)\)
  • След: \(\mathrm{tr}(A)=\sum_{i=1}^n a_{ii}\)
  • \(\det\) для \(2\times2\): \(ad-bc\)
  • Обратная \(2\times2\): \[ A^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} \]
  • Общая обратная: \(A^{-1}=\frac1{\det(A)}\mathrm{adj}(A)\)
  • Кофактор: \(C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)
  • Присоединённая: \(\mathrm{adj}(A)=C^T\)
  • Вектор между точками: \(\vec{AB}=B-A\)
  • Векторное произведение (через \(\det\)): \[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \det \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix} \]
  • Модуль кросса: \(||\mathbf{a}\times\mathbf{b}||=||\mathbf{a}||\,||\mathbf{b}||\sin\theta\)
  • Dot product: \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=||\mathbf{a}||\,||\mathbf{b}||\cos\theta\)
  • Площадь треугольника: \(\tfrac12||\mathbf{a}\times\mathbf{b}||\)
  • Смешанное произведение: \[ \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \det \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \]
  • Объём: \(|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})|\)
  • BAC–CAB: \(\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}\)
  • Якоби: сумма трёх циклических двойных кроссов \(=\mathbf{0}\)

4. Примеры

4.1. Размеры выражения (Лаба 3, Задание 1a)

Размеры \(P(4\times5)\), \(Q(4\times5)\), \(R(5\times2)\), \(S(4\times2)\), \(T(5\times4)\). Определите, определено ли \(PR+S\), и размер результата.

Показать решение

\(PR\) имеет размер \(4\times2\), \(S\) тоже — сумма определена, размер \(4\times2\).

Ответ: определено, \(4\times2\).
4.2. Размеры \(P-3T^T\) (Лаба 3, Задание 1b)
Показать решение

\(T^T\) — \(4\times5\), вычитание с \(P\) возможно, результат \(4\times5\).

Ответ: определено, \(4\times5\).
4.3. Размеры \(S^T(QT)\) (Лаба 3, Задание 1c)
Показать решение

\(QT\) — \(4\times4\), \(S^T\) — \(2\times4\), произведение \(2\times4\).

Ответ: определено, \(2\times4\).
4.4. Размеры \(QP^T+S\) (Лаба 3, Задание 1d)
Показать решение

\(QP^T\) — \(4\times4\), \(S\) — \(4\times2\) — размеры суммы не совпадают.

Ответ: не определено.
4.5. Размеры \(T(9Q+P)\) (Лаба 3, Задание 1e)
Показать решение

\(9Q+P\) — \(4\times5\), \(T\) — \(5\times4\) — произведение \(5\times5\).

Ответ: определено, \(5\times5\).
4.6. След \(D-3E\) (Лаба 3, Задание 2a)
Показать решение

Как в EN: \(\mathrm{tr}(D-3E)=-25\).

Ответ: \(-25\).
4.7. Произведение \(AB\) (Лаба 3, Задание 2b)
Показать решение Ответ: \(\begin{bmatrix}12&-3\\-4&5\\4&1\end{bmatrix}\).
4.8. Произведение \((AB)C\) (Лаба 3, Задание 2c)
Показать решение Ответ: \(\begin{bmatrix}3&45&9\\11&-11&17\\7&17&13\end{bmatrix}\).
4.9. \(CC^T\) (Лаба 3, Задание 2d)
Показать решение Ответ: \(\begin{bmatrix}21&17\\17&35\end{bmatrix}\).
4.10. \(\det(2D)\) (Лаба 3, Задание 2e)
Показать решение

\(\det D=29\), \(\det(2D)=2^3\det D=232\).

Ответ: \(232\).
4.11. \(\det(DE)\) (Лаба 3, Задание 2f)
Показать решение

\(\det D=29\), \(\det E=2\), произведение \(58\).

Ответ: \(58\).
4.12. Найти \(A\) из \((7A)^{-1}\) (Лаба 3, Задание 3a)
Показать решение Ответ: \(A=\begin{bmatrix}2/7&1\\1/7&3/7\end{bmatrix}\).
4.13. Найти \(A\) из \((5A^T)^{-1}\) (Лаба 3, Задание 3b)
Показать решение Ответ: \(A=\begin{bmatrix}-2/5&1\\-1/5&3/5\end{bmatrix}\).
4.14. Найти \(A\) из \((I+2A)^{-1}\) (Лаба 3, Задание 3c)
Показать решение Ответ: \(A=\begin{bmatrix}-9/13&1/13\\2/13&-6/13\end{bmatrix}\).
4.15. Обратная \(3\times3\) (Лаба 3, Задание 4a)
Показать решение

\(\det X=113\), \(X^{-1}=\frac1{113}\begin{bmatrix}21&11&28\\11&-5&-23\\-6&13&-8\end{bmatrix}\).

4.16. Обратная \(Y\) (Лаба 3, Задание 4b)
Показать решение

\(\det Y=-2\), \(Y^{-1}\) как в EN (дроби или десятичные \(8.5\) и т.д.).

4.17. Умножение на скаляр (Лекция 3, Пример 1)
Показать решение

\(-2A=\begin{bmatrix}-6&2&-4\\0&-8&6\\-2&-4&0\end{bmatrix}\).

4.18. Сложение матриц (Лекция 3, Пример 2)
Показать решение

Сумма покомпонентно — как в EN.

4.19. Определитель \(3\times3\) (Лекция 3, Пример 3)
Показать решение

\(\det(A)=1\).

Ответ: \(1\).
4.20. Транспонирование (Лекция 3, Пример 4)
Показать решение

\(A^T=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}\).

4.21. Площадь треугольника (Туториал 3, Задание 1)

Вершины \(A(1,2,0)\), \(B(3,0,-3)\), \(C(5,2,6)\).

Показать решение

\(||\vec{AB}\times\vec{AC}||=28\), площадь \(14\).

Ответ: \(14\).
4.22. Объём параллелепипеда (Туториал 3, Задание 2)

\(\vec{a}=(1,1,0)\), \(\vec{b}=(0,1,1)\), \(\vec{c}=(1,0,1)\).

Показать решение

\(|\det[\vec{a}\ \vec{b}\ \vec{c}]|=2\).

Ответ: \(2\).
4.23. Dot product из норм и кросса (Туториал 3, Задание 3)

\(||\vec{a}||=3\), \(||\vec{b}||=26\), \(||\vec{a}\times\vec{b}||=72\). Найдите \(\vec{a}\cdot\vec{b}\).

Показать решение

\(\sin\theta=12/13\), \(\cos\theta=\pm5/13\), значит \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\pm30\).

Ответ: \(\pm30\).
4.24. Сумма векторов и кросс-произведения (Туториал 3, Задание 4)

Если \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}\), докажите \(\vec{a}\times\vec{b}=\vec{b}\times\vec{c}=\vec{c}\times\vec{a}\).

Показать решение

Векторно умножить сумму на \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), использовать антикоммутативность.

4.25. Параллельность разностей (Туториал 3, Задание 5)

Из \(\vec{a}\times\vec{c}=\vec{b}\times\vec{d}\) и \(\vec{a}\times\vec{b}=\vec{c}\times\vec{d}\) следует параллельность \(\vec{a}-\vec{d}\) и \(\vec{b}-\vec{c}\) (если они ненулевые).

Показать решение

Развернуть \((\vec{a}-\vec{d})\times(\vec{b}-\vec{c})\) и подставить данные — получится \(\vec{0}\).

4.26. Компланарность (Туториал 3, Задание 6)

Если \((\vec{a}\times\vec{b})+(\vec{b}\times\vec{c})+(\vec{c}\times\vec{a})=\vec{0}\), то \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) компланарны.

Показать решение

Умножить скалярно на \(\vec{c}\), сократить нулевые смешанные произведения.

4.27. Площадь треугольника (Туториал 3, Задание 7)

\(||\vec{a}||=||\vec{b}||=5\), угол \(45^\circ\); площадь треугольника по сторонам \(\vec{u}=\vec{a}-2\vec{b}\), \(\vec{v}=3\vec{a}+2\vec{b}\).

Показать решение

\(\vec{u}\times\vec{v}=8(\vec{a}\times\vec{b})\), площадь \(50\sqrt2\).

Ответ: \(50\sqrt2\).
4.28. Тождество векторного смешанного произведения (Домашнее задание 3, Задание 1)
Показать решение

BAC–CAB / разложение Лагранжа — стандартное тождество.

4.29. Тождество Якоби (Домашнее задание 3, Задание 2)
Показать решение

Подставить BAC–CAB в каждое слагаемое — взаимные сокращения дают \(\vec{0}\).

4.30. Перестановка строк (Домашнее задание 3, Задание 3)
Показать решение

Перестановка двух строк или столбцов меняет знак определителя: \(\det B=-\det A\).